Question

如果對(duì)定義在R上的函數(shù)f（x），對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：
①y=e^x+x；
②y=x²；
③y=3x-sinx；
④f（x）=

ln|x|x≠0 0x=0

．
以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號(hào)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿(mǎn)足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①y=e^x+x為增函數(shù)，滿(mǎn)足條件．
②函數(shù)y=x²在定義域上不單調(diào)．不滿(mǎn)足條件．
③y=3x-sinx，y′=3-cosx＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿(mǎn)足條件．
④f（x）=

ln|x|x≠0 0x=0

．當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足條件．
綜上滿(mǎn)足“H函數(shù)”的函數(shù)為①③，
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．