Question

在直角坐標系xOy中，已知任意角θ以x軸的正半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0）．定義：sicosθ=

y0-x0

r

稱“sicosθ”為“正余弦函數(shù)”，對于“正余弦函數(shù)”y=sicosx，有同學得到以下性質(zhì)：
（1）該函數(shù)的值域[-

2

，

2

]；
（2）該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；
（3）該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對稱；
（4）該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2π；
（5）該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．
你認為這些性質(zhì)正確的是

 

（填上你認為正確的所有命題的序號）

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：首先根據(jù)題意，求出y=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一判斷即可．

解答： 解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=

y0-x0

r

=

rsinx-rcosx

r

=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
所以-

2

≤

2

sin（x-

π

4

）≤

2

，
即該函數(shù)的值域為[-

2

，

2

]；
（2）因為f（0）=

2

sin（-

π

4

）=-1≠0，
所以該函數(shù)圖象不關(guān)于原點對稱；
（3）當x=

3π

4

時，f（

3π

4

）=

2

sin

π

2

=

2

，
所以該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對稱；
（4）因為y=f（x）=

2

sin（x-

π

4

），
所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2π，所以正確．
（5）因為y=f（x）=sicosθ=

2

sin（x-

π

4

），
所以由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，
可得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，
即該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

]，k∈Z．
綜上，可得這些性質(zhì)中正確的有4個：（1）（3）（4）（5）．
故答案為：（1）（3）（4）（5）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是首先求出函數(shù)y=sicosθ的表達式．