對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f(x)=
3
4
x+
1
x
  (x＞0)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若y=k+
x+2
是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．
分析：（1）根據(jù)單調(diào)性依據(jù)閉區(qū)間的定義等價轉(zhuǎn)化為方程，直接求解．
（2）判斷其在（0，+∞）是否有單調(diào)性，再據(jù)閉函數(shù)的定義判斷；
（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義一定存在區(qū)間[a，b]，由定義直接轉(zhuǎn)化求解即可．
解答：解：（1）由題意，y=-x3在[a，b]上遞減，
則
b=-a3
a=-b3
b＞a
解得
a=-1
b=1
（4分）
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]；（5分）
（2）取x1=1，x2=10，則f(x1)=
7
4
＜
76
10
=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．
取x1=
1
10
，x2=
1
100
，
f(x1)=
3
40
+10＜
3
400
+100=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，
從而該函數(shù)不是閉函數(shù)；（9分）
（3）若y=k+
x+2
是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，
在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域為[a，b]，
即
a=k+
a+2
b=k+
b+2
，∴a，b為方程x=k+
x+2
的兩個實數(shù)根，
即方程x2-（2k+1）x+k2-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個不等的實根（11分）
當k≤-2時，有
△＞0
f(-2)≥0
2k+1
2
＞-2
，解得-
9
4
＜k≤-2，（13分）
當k＞-2時，有
△＞0
f(k)≥0
2k+1
2
＞k
，無解，（15分）
綜上所述，k∈(-
9
4
，-2]．
點評：考查函數(shù)的單調(diào)性及新定義型函數(shù)的理解，以及問題的等價轉(zhuǎn)化能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)y=g(x)=3-
5
x
不存在“和諧區(qū)間”．
（2）已知：函數(shù)y=
(a2+a)x-1
a2x
（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．
（3）易知，函數(shù)y=x是以任一區(qū)間[m，n]為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=
bx+c
ax
的函數(shù)為例）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的“等值區(qū)間”．給出下列三個函數(shù)：
①f(x)=(
12
)x；   ②f（x）=x3；    ③f（x）=log2x+1
則存在“等值區(qū)間”的函數(shù)的個數(shù)是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=
3
4
x+
1
x
（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•崇明縣一模）定義：對于定義域為D的函數(shù)f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，稱函數(shù)f（x）在D上是“T”函數(shù)．已知下列函數(shù)：
①f（x）=
1x
；　
②f（x）=log2（x2+2）；
③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中屬于“T”函數(shù)的序號是
③
③
．（寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義域為D的函數(shù)f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)有單調(diào)性；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]，則稱f（x）為D上的“和諧”函數(shù)，[a，b]為函數(shù)f（x）的“和諧”區(qū)間．
（Ⅰ）求“和諧”函數(shù)y=x3符合條件的“和諧”區(qū)間；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f(x)=x+
4
x
(x＞0)是否為“和諧”函數(shù)？并說明理由．
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=
x+4
+m是“和諧”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

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