Question

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f(x)=

3

4

x+

1

x

  (x＞0)是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（3）若y=k+

x+2

是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)單調(diào)性依據(jù)閉區(qū)間的定義等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程，直接求解．
（2）判斷其在（0，+∞）是否有單調(diào)性，再據(jù)閉函數(shù)的定義判斷；
（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義一定存在區(qū)間[a，b]，由定義直接轉(zhuǎn)化求解即可．

解答：解：（1）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，
則

b=-a3 a=-b3 b＞a

解得

a=-1 b=1

（4分）
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]；（5分）
（2）取x₁=1，x₂=10，則f(x1)=

7

4

＜

76

10

=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．
取x1=

1

10

，x2=

1

100

，
f(x1)=

3

40

+10＜

3

400

+100=f(x2)，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，
從而該函數(shù)不是閉函數(shù)；（9分）
（3）若y=k+

x+2

是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，
在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇a，b]，
即

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，∴a，b為方程x=k+

x+2

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個(gè)不等的實(shí)根（11分）
當(dāng)k≤-2時(shí)，有

△＞0 f(-2)≥0 2k+1 2 ＞-2

，解得-

9

4

＜k≤-2，（13分）
當(dāng)k＞-2時(shí)，有

△＞0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞k

，無(wú)解，（15分）
綜上所述，k∈(-

9

4

，-2]．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的單調(diào)性及新定義型函數(shù)的理解，以及問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力．