Question

4．若sinα=$\frac{4}{5}$，且α是第二象限的角，則cot（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=-3．

Answer 1

分析 由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosθ的值，進而確定出tanθ的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式化簡，求出tan$\frac{α}{2}$的值，將所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，把tan$\frac{α}{2}$的值代入計算，即可求出值．

解答 解：∵α是第二象限角，且sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴tanα=$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=-$\frac{4}{3}$，即2tan²$\frac{α}{2}$-3tan$\frac{α}{2}$-2=0，
解得：tan$\frac{α}{2}$=-$\frac{1}{2}$（不合題意，舍去．因為α是第二象限角，$\frac{α}{2}$是第一象限或第三象限角，tan$\frac{α}{2}$＞0）或tan$\frac{α}{2}$=2，
則tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=$\frac{1-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{α}{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
則cot（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=-3．
故答案為：-3．

點評 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵，屬于中檔題．