Question

15．已知函數(shù)$f（x）=4{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-2\sqrt{3}cos2x-1$，且給定條件p：“$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$”，條件q：“|f（x）-m|＜2”，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （3，5）
• B． [3，5]
• C． （2，4）
• D． [2，4]

Answer 1

分析 利用和差公式倍角公式可得：函數(shù)$f（x）=4{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-2\sqrt{3}cos2x-1$=4$sin（2x-\frac{π}{3}）$+1．條件p：“$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$”，可得：$2x-\frac{π}{3}$∈$[\frac{1}{2}，1]$，可得f（x）∈[3，5]．條件q：“|f（x）-m|＜2”，化為f（x）-2＜m＜f（x）+2．根據(jù)p是q的充分不必要條件，即可得出．

解答 解：函數(shù)$f（x）=4{sin^2}（{\frac{π}{4}+x}）-2\sqrt{3}cos2x-1$=$2（1-cos（\frac{π}{2}+2x））$-2$\sqrt{3}$cos2x-1=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1=4$sin（2x-\frac{π}{3}）$+1．
條件p：“$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$”，可得：$2x-\frac{π}{3}$∈$[\frac{1}{2}，1]$，∴f（x）∈[3，5]．
條件q：“|f（x）-m|＜2”，∴f（x）-2＜m＜f（x）+2．
若p是q的充分不必要條件，則5-2＜m＜3+2，即3＜m＜5．
實數(shù)m的取值范圍是（3，5）．
故選：A．

點評 本題考查了和差公式倍角公式、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．