Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+3ax²-12bx+3在x=-2和x=1處有極值．
（Ⅰ）求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）指出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)極值的定義得出

f′(-2)=0 f′(1)=0

，解方程組得出a，b，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由f′（x）＞0得單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0得單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）分別求得函數(shù)在[-3，3]的極值和端點(diǎn)值，得出最大值及最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax-12b
又因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在x=-2和x=1處有極值，
所以

f′(-2)=0 f′(1)=0

，解得

a=1 b=1

，
所以f（x）=2x³+3x²-12x+3…（4分）
（Ⅱ） f'（x）=6（x+2）（x-1）
由f'（x）＞0，得x＜-2或x＞1，f'（x）＜0，得-2＜x＜1
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2），（1，+∞），遞減區(qū)間為（-2，1）…（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=0，得x=-2或x=1f（-2）=23，f（1）=-4，f（-3）=12，f（3）=48
所以f（x）的最大值為f（3）=48，最小值為f（1）=-4…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力，屬中檔題．