Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

x²+1（x∈R），其中a＞0
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（Ⅱ）若在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若曲線y=f（x）在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞減，f′（x）=3ax²-3x≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立，分離參數(shù)，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論，利用在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-

3

2

x²+1，
∴f′（x）=3ax²-3x，
∵y=f（x）在區(qū)間（1，2）單調(diào)遞減，
∴f′（x）=3ax²-3x≤0在區(qū)間（1，2）上恒成立，
∴a≤

1

x

在區(qū)間（1，2）上恒成立，
∴a≤

1

2

（Ⅱ）a≠0時(shí)，x=1，x=

1

a

是兩個(gè)極值點(diǎn)．
a＞0時(shí)，f（

1

2

）=

a

8

+

5

8

＞0且x＞0時(shí)函數(shù)是減函數(shù)，f（-

1

2

）=-

a

8

+

5

8

＞0，
∴0＜a＜5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．