Question

13．已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=2^x，若存在x₀∈[1，2]使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{17}{6}，\frac{257}{60}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性，解出奇函數(shù)f（x）和偶函數(shù)g（x）的表達式，將等式af（x）+g（2x）=0，令t=2^x-2^-x，則t＞0，通過變形可得a=t+$\frac{2}{t}$，討論出右邊在x∈[1，2]的最大值，可以得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：解：∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，g（x）為定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
又∵由f（x）+g（x）=2^-x，結(jié)合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^x，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）．
等式af（x）+g（2x）=0，化簡為-$\frac{a}{2}$（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）=0．
∵x∈[1，2]，∴$\frac{3}{2}$≤2^x-2^-x≤$\frac{15}{4}$，
令t=2^x-2^-x，則t＞0，因此將上面等式整理，得：a=t+$\frac{2}{t}$，
函數(shù)h（t）=t+$\frac{2}{t}$在[$\frac{3}{2}$$，\frac{15}{4}$]遞增，$\frac{17}{6}$≤t+$\frac{2}{t}$≤$\frac{257}{60}$，
則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{17}{6}，\frac{257}{60}$]，
故答案為：[$\frac{17}{6}，\frac{257}{60}$]．

點評 題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查了函數(shù)求表達式以及不等式恒成立等知識點，屬于難題．合理地利用函數(shù)的基本性質(zhì)，再結(jié)合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題