【題目】如圖，已知圓柱內(nèi)有一個三棱錐，為圓柱的一條母線，，為下底面圓的直徑，．

（Ⅰ）在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點，使得平面？證明你的結(jié)論．

（Ⅱ）設點為棱的中點，，求四棱錐體積的最大值．

【答案】（Ⅰ）存在，為上底面圓的圓心，證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）畫出圖形，取上底面圓的圓心為，連接，，，，先證，再證平面即可；

（Ⅱ），然后利用不等式求出最值即可.

（Ⅰ）當點為上底面圓的圓心時，平面．

如圖，取上底面圓的圓心為，連接，，，，

則，．

所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以．

又，所以四邊形為平行四邊形，

所以．

因為平面，平面，

所以平面．

故點為上底面圓的圓心時，平面；

（Ⅱ）在底面圓中，由得．

，

當且僅當時等號成立，所以四棱錐體積的最大值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

求曲線C的直角坐標方程與直線l的極坐標方程；

Ⅱ若直線與曲線C交于點不同于原點，與直線l交于點B，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，將曲線：上的點按坐標變換，得到曲線，為與軸負半軸的交點，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與曲線的另一個交點為，與曲線的交點分別為，（點在第二象限）.

（Ⅰ）寫出曲線的普通方程及直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖是一個由正四棱錐和正四棱柱構(gòu)成的組合體，正四棱錐的側(cè)棱長為6，為正四棱錐高的4倍.當該組合體的體積最大時，點到正四棱柱外接球表面的最小距離是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某科研小組為了研究一種治療新冠肺炎患者的新藥的效果，選50名患者服藥一段時間后，記錄了這些患者的生理指標和的數(shù)據(jù)，并統(tǒng)計得到如下的列聯(lián)表（不完整）：

合計

12

36

7

合計

其中在生理指標的人中，設組為生理指標的人，組為生理指標的人，他們服用這種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：

組：10，11，12，13，14，15，16

組：12，13，15，16，17，14，25

（Ⅰ）填寫上表，并判斷是否有95%的把握認為患者的兩項生理指標和有關系；

（Ⅱ）從，兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率．

附：，其中．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某工廠的一個車間抽取某種產(chǎn)品50件，產(chǎn)品尺寸（單位：cm）落在各個小組的頻數(shù)分布如下表：

數(shù)據(jù)分組

[12.5，15.5）

[15.5，18.5）

[18.5，21.5）

[21.5，24.5）

[24.5，27.5）

[27.5，30.5）

[30.5，33.5）

頻數(shù)

3

8

9

12

10

5

3

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，求該產(chǎn)品尺寸落在[27.5，33.5]內(nèi)的概率；

（2）求這50件產(chǎn)品尺寸的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（3）根據(jù)頻數(shù)分布對應的直方圖，可以認為這種產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計算得.利用該正態(tài)分布，求（）.

附：（1）若隨機變量服從正態(tài)分布，則；（2）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，，且對任意n，恒成立.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）設，已知，，(2＜i＜j)成等差數(shù)列，求正整數(shù)i，j.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知可導函數(shù)f（x）的定義域為，且滿足，，則對任意的，“”是“”的( )

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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