Question

已知三棱錐S-ABC的棱長均相等，E是SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為△ABC的中心，則異面直線EF與AB所成的角為

 

．

Answer 1

分析：如圖，作CD⊥AB于D，分別以DB、DC為x、y軸，D為原點(diǎn)，建立如圖所求空間直角坐標(biāo)系．設(shè)三棱錐S-ABC的棱長為2，求出向量

DA

，

FE

的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式加以計算，可得異面直線EF與AB所成的角．

解答：解：設(shè)三棱錐S-ABC的棱長都等于2，
在平面ABC內(nèi)作CD⊥AB于D，則點(diǎn)F在CD上且滿足CF=2DF，
分別以DB、DC為x、y軸，D為原點(diǎn)，建立如圖所求空間直角坐標(biāo)系
可得D（0，0，0），A（-1，0，0），F(xiàn)（0，

3

3

，0），
S（0，

3

3

，

2 6

3

）可得SA的中點(diǎn)是E（-

1

2

，

3

6

，

6

3

）
∴

DA

=(-1，0，0)，

FE

=(-

1

2

，-

3

6

，

6

3

)
可得cos＜

DA

，

FE

＞=

-1×(- 1 2 )+0×(- 3 6 )+0× 6 3

1× 1 4 + 1 12 + 2 3

=

1

2

，
∴＜

DA

，

FE

＞=60°，可得異面直線EF與AB所成的角60°．
故答案為：60°

點(diǎn)評：本題在正四面體中求異面直線所成角的大小，著重考查了正四面體的性質(zhì)、利用空間向量求異面直線所成角的大小等知識，屬于中檔題．