Question

設直線y=x+b與橢圓

x2

2

+y2=1相交于A，B兩個不同的點．
（1）求實數b的取值范圍；
（2）當b=1時，求|

AB

|．

Answer 1

分析：（1）由直線y=x+b 與

x2

2

+y2=1由2個交點可得方程

y=x+b x2 2 +y2=1

有2個不同的解，整理得3x²+4bx+2b²-2=0有2個解△=16b²-12（2b²-2）＞0，解不等式可求
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當b=1 時，可求A，B的坐標，代入公式|

AB

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

可求或利用弦長公式

解答：解：（1）將y=x+b 代入

x2

2

+y2=1，消去y，整理得3x²+4bx+2b²-2=0．①…（2分）
因為直線y=x+b 與橢圓

x2

2

+y2=1 相交于A，B 兩個不同的點，
∴△=16b²-12（2b²-2）=24-8b²＞0（4分）
∴-

3

＜b＜

3

（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當b=1 時，方程①為3x²+4x=0．…（8分）
解得x1=0，x2=-

4

3

．
此時y1=1，y2=-

1

3

（10分）
∴|

AB

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

4 2

3

（12分）
（利用弦長公式也可以）

點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交關系的應用，方程思想的應用是解答直線與曲線位置關系的常用工具，要注意體會掌握