Question

已知向量

a

=（

1

2

，

3

sinx），

b

=（cos2x，-cosx），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos²（

π

2

-θ）+

3

sinθcosθ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用向量積的知識(shí)，求得f（x）的解析式，進(jìn)而化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的最小正周期T和在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）通過(guò)f（θ）=1，求得cos（2θ+

π

3

）的值，代入原式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=

1

2

cos2x-

3

sinxcosx=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
當(dāng)π+2kπ≤2x+

π

3

≤2π+2kπ，k∈Z，即

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，
∵x∈[0，π]
∴f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)減區(qū)間為[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]，單調(diào)增區(qū)間為[

π

3

，

5π

6

]．
（Ⅱ）∵f（θ）=1，
∴cos(2θ+

π

3

)=1
∴cos2(

π

2

-θ)+

3

sinθcosθ=

1-cos2θ

2

+

3

2

sin2θ=

1

2

-cos(2θ+

π

3

)=-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)．