Question

已知函數(shù)f（x）=2^|x-m|和函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8，其中m為參數(shù)，且滿足m≤5．
（1）若m=2，寫出函數(shù)g（x）的單調區(qū)間（無需證明）；
（2）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若對任意x₁∈[4，+∞），存在x₂∈（-∞，4]，使得f（x₂）=g（x₁）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由二次函數(shù)性質可知函數(shù)g（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），單調減區(qū)間為（1，2）；
（2）方程f（x）=2^|m|可化為（x-m）²=m²，解得x=0或x=2m，根據(jù)題意可得2m=0或2m＜-2，從而可知實數(shù)m的取值范圍；
（3）由題意可知g（x）的值域應是f（x）的值域的子集．分情況討論f（x）和g（x）的值域，即可確定實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）m=2時，g(x)=

x2-2x-4(x≥2) -x2+2x-4(x＜2)

，
∴函數(shù)g（x）的單調增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），
單調減區(qū)間為（1，2）．
（2）由f（x）=2^|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，
得|x-m|=|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解．
即（x-m）²=m²，解得x=0或x=2m，
由題意知2m=0或2m＜-2，
即m＜-1或m=0．
綜上，m的取值范圍是m＜-1或m=0．
（3）由題意可知g（x）的值域應是f（x）的值域的子集．
∵f(x)=

2x-m(x≥m) 2m-x(x＜m).

①m≤4時，f（x）在（-∞，m）上單調遞減，[m，4]上單調遞增，
∴f（x）≥f（m）=1．
g（x）在[4，+∞）上單調遞增，
∴g（x）≥g（4）=8-2m，
∴8-2m≥1，即m≤

7

2

．
②當4＜m≤5時，f（x）在（-∞，4]上單調遞減，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，m]上單調遞減，
[m，+∞）上單調遞增，
故g（x）≥g（m）=2m-8
∴2^m-4≤2m-8，
解得5≤m≤6．
又4＜m≤5，
∴m=5
綜上，m的取值范圍是(-∞，

7

2

]∪{5}

點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)單調性中的應用，方程根的存在定理，以及存在性問題的轉化，屬于難題．