Question

已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）試證明：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過(guò)程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，先對(duì)求導(dǎo)，利用，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性的變化，判斷有無(wú)極值；第二問(wèn)，將已知的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求出最小值；第三問(wèn)，利用第二問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行變形，得到類似所證結(jié)論的表達(dá)式，通過(guò)式子的累加得到所證結(jié)論.

試題解析：（1）當(dāng)x>0時(shí)，，有

；

所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

函數(shù)在處取得唯一的極值．由題意，且，解得

所求實(shí)數(shù)的取值范圍為. 4分

（2）當(dāng)時(shí)， 5分

令，由題意，在上恒成立

6分

令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

所以在上單調(diào)遞增，． 8分

因此， 在上單調(diào)遞增，．

所以．所求實(shí)數(shù)的取值范圍為 9分

（3）由（2），當(dāng)時(shí)，即，即． 10分

從而． 12分

令，得，

將以上不等式兩端分別相加，得

14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；3.恒成立問(wèn)題.