Question

已知函數(shù)，當時，.

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

（3）試證明：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值等數(shù)學知識，考查學生分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，先對求導，利用，判斷函數(shù)的單調區(qū)間，利用單調性的變化，判斷有無極值；第二問，將已知的恒成立問題轉化為，即轉化為求函數(shù)的最小值問題，利用導數(shù)判斷的單調性，求出最小值；第三問，利用第二問的結論進行變形，得到類似所證結論的表達式，通過式子的累加得到所證結論.

試題解析：（1）當x>0時，，有

；

所以在（0，1）上單調遞增，在上單調遞減，

函數(shù)在處取得唯一的極值．由題意，且，解得

所求實數(shù)的取值范圍為. 4分

（2）當時， 5分

令，由題意，在上恒成立

6分

令，則，當且僅當時取等號．

所以在上單調遞增，． 8分

因此， 在上單調遞增，．

所以．所求實數(shù)的取值范圍為 9分

（3）由（2），當時，即，即． 10分

從而． 12分

令，得，

將以上不等式兩端分別相加，得

14分

考點：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；2.利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值；3.恒成立問題.