Question

已知函數()，其圖像在處的切線方程為．函數，．

（1）求實數、的值；

（2）以函數圖像上一點為圓心，2為半徑作圓，若圓上存在兩個不同的點到原點的距離為1，求的取值范圍；

（3）求最大的正整數，對于任意的，存在實數、滿足，使得．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由已知可先求出切點坐標和斜率，又切點在函數圖象上，且在該處的導數等于切線的斜率，從而可列方程組為，故可求出實數的值；（2）根據題意可將問題轉化為圓與以原點為圓心、1為半徑的圓有兩個不同交點，即兩圓相交，考慮到兩圓的半徑差為1、和為3，所以兩圓心距離的范圍應為，再通過配方法，從而可求出實數的取值范圍；（3）考慮到函數在區(qū)間上為減函數，又，所以，若，則對任意，有，即當時，要有，整理有，令，由函數的單調性、最值及零點可得，從而問題可得證，這題有一定難度.

試題解析：（1） 當時，，，故，解得． 3分

（2）問題即為圓與以為圓心1為半徑的圓有兩個交點，即兩圓相交．設，則，即，，，

必定有解； 6分

，，

故有解，須，又，從而． 8分

（3）顯然在區(qū)間上為減函數，于是，若，則對任意，有．

當時，，令，

則．令，則，故在上為增函數，又，，因此存在唯一正實數，使．故當時，，為減函數；當時，，為增函數，因此在有最小值，又，化簡得，． 13分

下面證明：當時，對，有．

當時，．令，

則，故在上為減函數，于是．

同時，當時，．

當時，；當時，．

結合函數的圖像可知，對任意的正數，存在實數、滿足，使得．

綜上所述，正整數的最大值為3． 16分

考點：1.函數單調性、最值；2.導數；3.圓的位置關系.