Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，，過A作AE⊥CD，垂足為E，G，F分別為AD，CE的中點，現將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）求證：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在線段AE上找一點R，使得面BDR⊥面DCB，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中AE⊥CD，垂足為E，DE⊥EC．根據線面垂直的判定定理，我們可得DE⊥面ABCE．由線面垂直的定義，可得DE⊥BC，又由BC⊥CE，由線面垂直的判定定理，我們可以得到BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）取AB中點H，連接GH，FH，由三角形中位線定理，我們易得到GH∥BD，FH∥BC，由面面平行的判定定理得到面FHG∥面BCD，再由面面平行的定義，得到FG∥平面BCD；
（Ⅲ）取BD中點Q，連接DR、BR、CR、CQ、RQ，根據已知中AB∥CD，，我們易△BDR，求出RQ，解△CRQ，可得CQ⊥RQ，又由等腰△CBD中，Q為底邊BD的中點，得到CQ⊥BD，進而根據線面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到結論．
解答：解：（I）如下圖所示：

由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC
∴DE⊥面ABCE．
∴DE⊥BC，又BC⊥CE，
∴BC⊥面DCE
（II）取AB中點H，連接GH，FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，
∴GH∥面BCD，FH∥面BCD．
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD．
（III）分析可知，R點滿足3AR=RE時，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取BD中點Q，連接DR、BR、CR、CQ、RQ
容易計算，
在△BDR中
∵，可知，
∴在△CRQ中，CQ²+RQ²=CR²，
∴CQ⊥RQ．
又在△CBD中，CD=CB，Q為BD中點
∴CQ⊥BD，
∴CQ⊥面BDR，
∴面BDC⊥面BDR．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面之間平行及垂直的判定定理、性質定理、定義、幾何特征是解答此類問題的關鍵．