Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，SB=

7

，∠CAD=90°，點(diǎn)E在棱SD上．
（1）當(dāng)SE=3ED時(shí)，求證：SD⊥平面AEC
（2）當(dāng)SE=ED時(shí)，求直線AE與平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AD、SA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，結(jié)合向量垂直的充要條件，可得SD⊥AC，SD⊥AE，進(jìn)而由線面垂直的判定定理，得到SD⊥平面AEC
（2）當(dāng)SE=ED時(shí)，先求出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面SCD的法向量和直線AE的法向量，代入向量夾角公式，可得直線AE與平面SCD所成角的正弦值．

解答：解：依題意CA⊥AD，SA⊥平面ACD．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC、AD、SA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則易得 A(0，0，0)，C(

3

，0，0)，D(0，1，0)，S(0，0，

3

)，-----（2分）
證明：（1）∵

SD

=（0，1，-

3

）
由SE=3ED得：

SE

=

3

4

SD

=（0，

3

4

，-

3 3

4

）
∴E(0，

3

4

，

3

4

)，
又∵

AC

=（

3

，0，0），

AE

=(0，

3

4

，

3

4

)
易得

SD • AC =0 SD • AE =0

，
∴SD⊥AC，SD⊥AE
又∵AC∩AE=A，AC，AE?平面ACE
∴SD⊥平面ACE．----（5分）
解：（2）由SE=ED得：

SE

=

1

2

SD

=（0，

1

2

，-

3

2

）
∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
設(shè)平面SCD的法向量為

n

=（x，y，z）
則

n • DC = 3 x-y=0 n • SD =y- 3 z=0.

，令z=1，得

n

=(1，

3

，1)，----（9分）
從而cos＜

AE

，

n

＞=

AE • n

| AE || n |

=

0•1+ 1 2 3 + 3 2 •1

1• 5

=

15

5

-----（11分）
∴直線AE與平面SCD所成角的正弦值大小為

15

5

．-----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，將線段垂直問(wèn)題及線面夾角問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．