Question

10．實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+b=0的一個根在（0，1）上，另一個根在（1，2）上，則$\frac{2-b}{2-a}$的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{2}{3}$）
• B． （-∞，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{2}{3}$，2）
• D． $（\frac{2}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 利用一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得a、b滿足的條件，畫出它的可行域，而$\frac{2-b}{2-a}$表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)M（2，2）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得$\frac{2-b}{2-a}$的取值范圍．

解答 解：∵實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+b=0的一個根在（0，1）上，另一個根在（1，2）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=1+a+b＜0}\\{f（2）=4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，畫出它的可行域，如圖所示：△ABC的內(nèi)部．
而$\frac{2-b}{2-a}$表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)M（2，2）連線的斜率，
而直線MA的斜率為0，直線MB的斜率為$\frac{2-0}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
故$\frac{2-b}{2-a}$的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$），
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查實(shí)系數(shù)一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線的斜率公式，簡單的線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．