Question

如圖，AB是的⊙O直徑，CB與⊙O相切于B，E為線段CB上一點(diǎn)，連接AC、AE分別交⊙O于D、G兩點(diǎn)，連接DG交CB于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：C、D、G、E四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）若F為EB的三等分點(diǎn)且靠近E，EG=1，GA=3，求線段CE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）連接BD，由題設(shè)條件結(jié)合圓的性質(zhì)能求出∠C=∠AGD，從而得到∠C+∠DGE=180°，由此能證明C，E，G，D四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）由切割線定理推導(dǎo)出EB=2，由此能求出CE的長．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD，則∠AGD=∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°
∴∠C=∠AGD，
∴∠C+∠DGE=180°，
∴C，E，G，D四點(diǎn)共圓．…..（5分）
（Ⅱ）解：∵EG•EA=EB²，EG=1，GA=3，
∴EB=2，
又∵F為EB的三等分點(diǎn)且靠近E，
∴EF=

2

3

，FB=

4

3

，
又∵FG•FD=FE•FC=FB²，
∴FC=

8

3

，CE=2．…．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．