Question

（本小題滿分14分）

已知直線過橢圓的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓的上頂點，且直線交橢圓于、兩點，點、F、 在直線上的射影依次為點、、.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）若直線交y軸于點，且，當變化時，探求

的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

   （3）連接、，試探索當變化時，直線與是否相交于定點？

若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點∴，拋物線的焦點坐標

橢圓的方程    ……………4分

   （Ⅱ）易知，且與軸交于_，設直線交橢圓于

由∴

∴……………6分

       又由   

       同理∴

∵    ∴    ……9分

所以，當變化時， 的值為定值；                            ……………10分

（Ⅲ）先探索，當時，直線軸，則為矩形，由對稱性知，

與相交 的中點，且，

猜想：當變化時，與相交于定點                       ……………11分

證明：由（Ⅱ）知，∴當變化時，首先證直線過定點，

方法1）∵，當時，

∴點在直線上，

同理可證，點也在直線上；∴當變化時，與相交于定點………14分

方法2）∵

∴    ∴、、三點共線，同理可得、、也三點共線；

       ∴當變化時，與相交于定點                   ……………14