Question

（本題16分）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得直線與拋物線相切于點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)，的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）存在，，(3) 最小值

【解析】利用拋物線的幾何性質(zhì)、圓的方程以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求解。

試題分析：

（1）由題意，知，圓心在線段的中垂線上，拋物線準(zhǔn)線方程為，所以，得，，拋物線方程為……………………….4分

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，直線，令，得，故，

又，得，，由，解得，滿足條件。…………………………………………8分

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，圓的半徑，

圓設(shè)，由，整理得 ，，

設(shè)，由，整理得，

，令，，，

，

，當(dāng)時(shí)，，在遞增，故當(dāng)，即時(shí)，有最小值……………………………………………………………….16分

考點(diǎn)：本題主要考查了拋物線的幾何性質(zhì)、圓的方程以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，綜合考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和推理論證能力。

點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵是掌握拋物線的幾何性質(zhì)、圓的方程以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)以及較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力和推理論證能力，難度很大。