Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求實(shí)數(shù)a的值，只須求出切線斜率的值列出關(guān)于a的等式即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為0即可求得a；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最小值．
解答：解：由題意得：f'（x）=（e^x）'•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）'
=；（3分）
（1）由曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，
結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（2）=0，
即=，
解得a=1；（6分）
（2）設(shè)|sinx|=t（0≤t≤1），
則只需求當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（t）（0≤t≤1）的最小值．
令f'（x）=0，解得或x=-2，而a＞0，即．
從而函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，即0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，y_min=f（1）=（a-4）e；
當(dāng)，即 a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的極小值，
即為其在區(qū)間[0，1]上的最小值，．
綜上可知，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的最小值為（a-4）e；
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（|sinx|）的最小值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，考查學(xué)生解決問題的綜合能力．