定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x-1)=-f(x),且f(x)在[0,1]上是減函數(shù).下
面五個(gè)關(guān)于f(x)的命題中,命題正確的個(gè)數(shù)有 個(gè)
①f(x)是周期函數(shù);②f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱;③f(x)在[-1,0]上是減函數(shù);④f(x)在[1,2]上為增函數(shù);⑤f(2)=f(0).
【答案】分析:由題意先給x適當(dāng)?shù)闹登蟪龊瘮?shù)的周期和對稱軸,進(jìn)而判斷出①②⑤正確,再根據(jù)偶函數(shù)圖象的對稱性判斷在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反,得到③正確而④不對.
解答:解:∵f(x-1)=-f(x),令x=x+1,得f(x)=-f(x+1);
∴f(x-1)=f(x+1),則f(x)=f(x+2)
∴函數(shù)的周期是:T=2,函數(shù)的對稱軸x=1;所以①②⑤正確.
∵f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),f(x)在[0,1]上是減函數(shù),
∴f(x)在[-1,0]上是減函數(shù);所以③正確.
∴f(x)在[1,2]上為為減函數(shù),故④不正確.
故答案為:4.
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用,根據(jù)所給的式子進(jìn)行變形求出周期和對稱軸,再由函數(shù)圖象的對稱性判斷單調(diào)性,是綜合性題.