Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，{a_n}的前n項和為S_n，設(shè)a₁=1，且a₃是a₁和a₉的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

3an-1

2n

}的前n項和為T_n；
（3）記f（n）=

Sn

(n+18)Sn+1

，試問當(dāng)n為何值時，f（n）最大？并求出f（n）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a₃是a₁和a₉的等比中項，求出等差數(shù)列{a_n}的公差，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用錯位相減法，求數(shù)列{

3an-1

2n

}的前n項和為T_n；
（3）利用基本不等式求f（n）的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則
∵a₃是a₁和a₉的等比中項，
∴（1+2d）²=1×（1+8d）           …（2分）
∵d≠0，∴d=1
∴a_n=n；      …（4分）
（2）

3an-1

2n

=

3n-1

2n

∴T_n=2×

1

2

+5×（

1

2

^）2+…+（3n-1）•（

1

2

^）n①
∴

1

2

T_n=2×（

1

2

^）2+5×（

1

2

^）3+…+（3n-4）×（

1

2

^）n+（3n-1）•（

1

2

^）n+1②
①-②得T_n=5-

3n+5

2n

，…（9分）
（3）由（1）可得a_n=n，S_n=

n(1+n)

2

                     …（10分）
∴f（n）=

Sn

(n+18)Sn+1

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

12+20

=

1

32

                       …（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)n=

36

n

，即n=6時，f（n）取得最大值

1

32

．    …（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．