Question

5．已知P是橢圓$\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}$=1（a₁＞b₁＞0）和雙曲線$\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}$=1（a₂＞0，b₂＞0）的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，e₁，e₂分別為橢圓和雙曲線的離心率，∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，則$\frac{1}{e_1}+\frac{1}{e_2}$的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，求得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，再由余弦定理和離心率公式可得$\frac{3}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，設(shè)$\frac{1}{{e}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$cosα，$\frac{1}{{e}_{2}}$=2sinα，由輔助角公式，運(yùn)用正弦函數(shù)的值域即可得到最大值．

解答 解：設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由橢圓的定義可得，m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=-$\frac{1}{2}$，
即為m²+n²+mn=4c²，
即有2a₁²+2a₂²+a₁²-a₂²=4c²，
即3a₁²+a₂²=4c²，
由離心率e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{3}{{{e}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，
設(shè)$\frac{1}{{e}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$cosα，$\frac{1}{{e}_{2}}$=2sinα，
則$\frac{1}{e_1}+\frac{1}{e_2}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$cosα+2sinα
=$\sqrt{\frac{4}{3}+4}$sin（α+θ）（θ為輔助角），
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（α+θ），
當(dāng)sin（α+θ）=1，即α+θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)：離心率，以及三角換元，輔助角公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．