Question

已知圓C的方程：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）求m的取值范圍；
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=

4 5

5

，求m的值．
（3）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由方程x²+y²-2x-4y+m=0配方為（x-1）²+（y-2）²=5-m．由于此方程表示圓，可得5-m＞0，解出即可；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與圓的方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)關(guān)系，再利OM⊥ON得y₁y₂+x₁x₂=0
，即可解出m．

解答： 解：（1）方程x²+y²-2x-4y+m=0，可化為（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∵此方程表示圓，
∴5-m＞0，即m＜5．
（2）圓的方程化為  （x-1）²+（y-2）²=5-m，圓心 C（1，2），半徑 r=

5-m

，
則圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離為 d=

|1+2×2-4|

12+22

=

1

5

由于|MN|=

4

5

，則

1

2

|MN|=

2

5

，有r2=d2+(

1

2

|MN|)2，∴5-m=(

1

5

)2+(

2

5

)2，得m=4．
（3）由

x2+y2-2x-4y+m=0 x+2y-4=0

消去x得（4-2y）²+y²-2×（4-2y）-4y+m=0，
化簡得5y²-16y+m+8=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=

16

5

①，y₁y₂=

m+8

5

②
由OM⊥ON得y₁y₂+x₁x₂=0
即y₁y₂+（4-2y₁）（4-2y₂）=0，
∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0．
將①②兩式代入上式得16-8×

16

5

+5×

m+8

5

=0，
解之得m=

8

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．