Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，且a₃=5，a₁，a₂．a(chǎn)₅ 成等比數(shù)列
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n 試比較T_n與的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的定義即可得到首項(xiàng)和公差，即可得到通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（I）可得：a_n=2n-1，由b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，及b₁+2b₂+4b₃+…+2，兩式相減可得，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到T_n，與比較即可．
解答：解：（Ⅰ）在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d≠0，
由題意，∴，
解得．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，①
b₁+2b₂+4b₃+…+2，②
②-①得2ⁿb_n+1=2，∴．
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1，∴，
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=a₁=1，，此時(shí)．
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=1+
==．
又＞n+1，
∴，．
∴當(dāng)n=1時(shí)，，當(dāng)n≥2時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二項(xiàng)式定理是解題的關(guān)鍵．