Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x2-（1+a）x（a∈R）．
（1）當(dāng)0＜a＜1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知命題P：f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，若命題P成立的充要條件是{a|a≤t}，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用分類討論，求出命題P成立的充要條件，再根據(jù)命題P成立的充要條件是{a|a≤t}，求實數(shù)t的值．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

(x-1)(x-a)

x

（Ⅰ）當(dāng)0＜a＜1時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（a，1）…（6分）
（Ⅱ）由于f(1)=-

1

2

-a，顯然a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的，
當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的極小值、也是最小值即是f(1)=-

1

2

-a，此時只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

1

2

)．
∴P成立的充要條件為(-∞，-

1

2

)．
∵命題P成立的充要條件是{a|a≤t}，
∴t=-

1

2

．…（13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，屬于中檔題．