Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a

x

，（x≠0，a∈R）
（1）討論f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）已知a=16，用定義法證明f（x）在[2，+∞）是單調(diào)遞增的．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a≠0時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的奇偶性的定義，即可判斷；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： （1）解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²，此時(shí)f（x）為偶函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（-x）=（-x）²+

a

-x

=x²-

a

x

f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
則f（x）不為奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）證明：由a=16，得f（x）=x²+

16

x

．
取任意的m，n∈[2，+∞），且m＜n，f（m）-f（n）=m²+

16

m

-n²-

16

n

=（m-n）（m+n）+

16(n-m)

mn

=（m-n）[（m+n）-

16

mn

]，
由于2≤m＜n，則m-n＜0，m+n＞4，mn＞4，則

16

mn

＜4，m+n-

16

mn

＞0，
故f（m）-f（n）＜0，也即f（m）＜f（n），
所以f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增的．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．