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【題目】設正數數列的前項和為，對于任意，是和的等差中項.

（1）求數列的通項公式；

（2）設，是的前項和，是否存在常數，對任意，使恒成立？若存在，求取值范圍；若不存在，說明理由.

【答案】；存在實數符合題意.

【解析】

根據是和的等差中項,可知,且，則當時,有,兩式相減并化簡即可求解;

由知,，由題意知,, 假設存在常數，對任意，使恒成立等價于對任意，恒成立,整理化簡，利用分離參數法求解恒成立問題即可.

由是和的等差中項可知,,且，

則當時,有,

兩式相減可得, ,

即,，化簡可得,,

所以數列是以為首項,為公差的等差數列,

所以數列的通項公式為；

由知,,因為,所以數列的前項和,

假設存在常數，對任意，使恒成立

即對任意，恒成立,

等價于對任意，恒成立,即小于的最小值即可.

所以滿足對任意，使恒成立.

所以存在這樣的實數，對任意，使恒成立，實數的取值范圍為.

練習冊系列答案
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（1）求數列的通項公式；

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（3）求數列前n項和.

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