【題目】如圖,在三棱錐中,,,,,,.
(1)若為的中點(diǎn),證明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)推導(dǎo)出,,,,由此能證明平面.
(2)法一:取的中點(diǎn),連結(jié),取中點(diǎn),連結(jié),以為原點(diǎn),,,所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.
法二:取的中點(diǎn),連結(jié),,推導(dǎo)出,,平面,則,從而為二面角的平面角,由此能求出二面角的余弦值.
證明:(1)∵,,
∴,
∵,∴,
∵,為的中點(diǎn),∴,
又,∴平面.
解:(2)解法一:取的中點(diǎn),連結(jié),取中點(diǎn),連結(jié),
∵,,∴,
又為的中點(diǎn),∴,
由(1)知平面平面,平面平面,
∴平面,
以為原點(diǎn),,,所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
由題意知,,,
,,
設(shè)平面的法向量,
則,令,得,
平面的法向量,,
由圖知二面角為銳角,
∴二面角的余弦值為.
解法二:取的中點(diǎn),連結(jié),,
∵為的中點(diǎn),∴,又,∴,
由(1)知平面,則,
∴為二面角的平面角,
∵,,,∴,
又,則,
∴,即二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,個(gè)人收入的提高,自2019年1月1日起,個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整.調(diào)整如下:納稅人的工資、薪金所得,以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額.依照個(gè)人所得稅稅率表,調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表:
個(gè)人所得稅稅率表(調(diào)整前) | 個(gè)人所得稅稅率表(調(diào)整后) | ||||
免征額3500元 | 免征額5000元 | ||||
級(jí)數(shù) | 全月應(yīng)納稅所得額 | 稅率(%) | 級(jí)數(shù) | 全月應(yīng)納稅所得額 | 稅率(%) |
1 | 不超過1500元部分 | 3 | 1 | 不超過3000元部分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元的部分 | 10 | 2 | 超過3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 3 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元,記表示總收入,表示應(yīng)納的稅,試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式;
(2)某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入,并制成下面的頻數(shù)分布表:
收入(元) | ||||||
人數(shù) | 30 | 40 | 10 | 8 | 7 | 5 |
先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人,再從中選2人作為新納稅法知識(shí)宣講員,求兩個(gè)宣講員不全是同一收入人群的概率;
(3)小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時(shí),請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對于任意,是和的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),是的前項(xiàng)和,是否存在常數(shù),對任意,使恒成立?若存在,求取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在第十五次全國國民閱讀調(diào)查中,某地區(qū)調(diào)查組獲得一個(gè)容量為的樣本,其中城鎮(zhèn)居民人,農(nóng)村居民人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民人,農(nóng)村居民人.
(Ⅰ)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為,經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)?
城鎮(zhèn)居民 | 農(nóng)村居民 | 合計(jì) | |
經(jīng)常閱讀 | |||
不經(jīng)常閱讀 | |||
合計(jì) |
(Ⅱ)從該地區(qū)居民城鎮(zhèn)的居民中,隨機(jī)抽取位居民參加一次閱讀交流活動(dòng),記這位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為,若用樣本的頻率作為概率,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
附:,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B,設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足,當(dāng)且時(shí),P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓,現(xiàn)有雙曲線(,),A,B為雙曲線的左、右頂點(diǎn),C,D為雙曲線的虛軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,面積的最大值為,面積的最小值為4,則雙曲線的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,一條流水線年產(chǎn)量為件,該生產(chǎn)線分為兩段,流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標(biāo)會(huì)影響第二段生產(chǎn)成品的等級(jí),具體見下表:
第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo) | 或 | 或 | |
第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
從第一道生產(chǎn)工序抽樣調(diào)查了件,得到頻率分布直方圖如圖:
若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是元、元、元.
(Ⅰ)以各組的中間值估計(jì)為該組半成品的質(zhì)量指標(biāo),估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;
(Ⅱ)將頻率估計(jì)為概率,試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤;
(Ⅲ)現(xiàn)在市面上有一種設(shè)備可以安裝到流水線第一段,價(jià)格是萬元,使用壽命是年,安裝這種設(shè)備后,流水線第一段半成品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布,且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司作出決策,是否要購買該設(shè)備?說明理由.
(參考數(shù)據(jù):,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的軌跡為.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)已知直線與圓相切于點(diǎn),且與曲線相交于,兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,求三角形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,)的圖象關(guān)于直線對稱,兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為.
(1)求的解析式;
(2)在△中,若,求的值.
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