Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx$
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最值．
（2）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=$\frac{2}{3}{x^3}$的下方．
（3）設(shè)h（x）=f'（x），求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（2）設(shè)F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+lnx-\frac{2}{3}{x^3}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出F（x）＜F（1），證明結(jié)論即可；
（3）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）f'（x）=$x+\frac{1}{x}$，當(dāng)x在區(qū)間[1，e]上，f'（x）＞0恒成立，
所f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（e）=$\frac{{e}^{2}}{2}$+1，$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2}$，…（3分）
（2）證明：設(shè)F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+lnx-\frac{2}{3}{x^3}$，
則F′（x）=$\frac{（1-x）（{2x}^{2}+x+1）}{x}$，
因為x＞1，所以F′（x）＜0，所以函數(shù)F（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
又F（1）=$-\frac{1}{6}$＜0，所以F（x）＜F（1）=$-\frac{1}{6}$＜0，即$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$，
所以函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=$\frac{2}{3}{x^3}$的下方．…（6分）
（3）證明：可知x＞0．
當(dāng)n=1時，不等式成立
當(dāng)n≥2時，${[{h（x）}]^n}-h（{x^n}）={（x+\frac{1}{x}）^n}-（{x^n}+\frac{1}{x^n}）$
=$\frac{1}{2}[{C_n^1（{x^{n-2}}+\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）+C_n^2（{x^{n-4}}+\frac{1}{{{x^{n-4}}}}）+…+C_n^{n-1}（{x^{n-2}}+\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）}]$
≥$C_n^1$+$C_n^2$+…+$C_n^{n-1}$=2ⁿ-2，
所以[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．