Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=

sinπx，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，有下列4個(gè)命題：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N^*），對(duì)于一切x∈[0，+∞）恒成立；
③函數(shù)y=f（x）-ln（x-1）有3個(gè)零點(diǎn)；
④對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤

2

x

恒成立．
則其中所有真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出f（x）=

sinπx，   x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的圖象，利用圖象可得結(jié)論．

解答： 解：f（x）=

sinπx，   x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

的圖象如圖所示：
①f（x）的最大值為1，最小值為-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正確；
②f（

1

2

）=2f（

1

2

+2）=4f（

1

2

+4）=8f（

1

2

+6）≠8f（

1

2

+8），故不正確；
③如圖所示，函數(shù)y=f（x）-ln（x-1）有3個(gè)零點(diǎn)；
④對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≤

k

x

恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

9

8

，+∞），結(jié)合圖象，可得④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確作出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵．