在數(shù)列|中，a1=2, b1=4，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）

（Ⅰ）求a2, a3, a4及b2, b3, b4，由此猜測{an},{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）證明：.

解：（Ⅰ）由條件得

由此可得     

猜測                              

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時，由上可得結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即

那么當(dāng)n=k+1時，

所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立.

由①②，可知

對一切正整數(shù)都成立.          

（Ⅱ）

n≥2時，由（Ⅰ）知        

故

 ＝

＝

綜上，原不等式成立. 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=a n+ln(1+
1
n
)，則數(shù)列{an}的通項an=（　�。�
A、
2
ln
n
n-1
n=1
n≥2
B、
2
ln(1+n)
n=1
n≥2
C、1+ln（n+1）
D、2+lnn

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
（Ⅲ）證明不等式Sn+1≤4Sn，對任意n∈N*皆成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•福州模擬）在數(shù)列{an}中，a1=2，點(diǎn)（an，an+1）（n∈N*）在直線y=2x上．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=log2an，求數(shù)列
1bn×bn+1
的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（1）證明：數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記bn=
n
an-n
，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求證：Sn+bn＞
16
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；
（Ⅲ）令bn=（-1）nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．

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