Question

已知正方體的棱長為a，分別求出它們的內(nèi)切球、外接球及與各棱都相切的球的體積．

Answer 1

答案：略
解析：

正方體的內(nèi)切球與各面的切點為正方體面的中心，故作出經(jīng)過正方體相對面的中心且與棱平行的截面，則球的軸截面是其正方形截面的內(nèi)切圓，如圖所示，∴． 正方體的外接球與正方體的連接點為正方體各個頂點，故應(yīng)作正方體對角面，則球的截面為其矩形截面的外接圓，如圖，又矩形的兩鄰邊分別為正方體兩對角線和正方體的棱，則有 ∴外接球半徑為，∴． 與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點是正方體各棱的中點，應(yīng)作出經(jīng)過正方體一組平行棱的中點的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖， 求得球的半徑為 ∴．

提示：

這些都是幾何體組合后產(chǎn)生的問題，為了準確求解，應(yīng)分清它們是如何組合起來的，以轉(zhuǎn)化為平面圖形進行計算． (1)相切或相接問題一般通過作出截面，使構(gòu)成組合體的各個簡單體中的主要元素盡可能集中在該截面上，從而化成平面圖形的計算加以解決． (2)旋轉(zhuǎn)體之間的相接、相切問題，通常作出它們的共軸的截面；旋轉(zhuǎn)體與多面體之間的相接、相切問題，一般作出它們“接”、“切”的某個公共點與軸所確定的截面．