Question

2．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{ax-2}{x-1}$在區(qū)間（2，4）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)α的取值范囤a＜2．

Answer 1

分析 由題意數(shù)f（x）是復(fù)合函數(shù)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”即可得解．

解答 解：由函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{ax-2}{x-1}$；
令u（x）=$\frac{ax-2}{x-1}$＞0，
∵u（x）=$\frac{ax-2}{x-1}$=$\frac{a（x-1）+a-2}{x-1}$=$a+\frac{a-2}{x-1}$，
∴當(dāng)a-2＜0時(shí)，即a＜2，u（x）在區(qū)間（1，+∞）是增函數(shù)．
u（x）=$\frac{ax-2}{x-1}$在區(qū)間（2，4）也為增函數(shù)．
當(dāng)x=2時(shí)，u（x）的最小值為a+a-2≥0，解得：a≥1．
真數(shù)在給定區(qū)間上恒為正．
又∵（2，4）?（1，+∞）是增函數(shù)，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u（x）$是減函數(shù)．
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”
可得：f（x）在區(qū)間上（2，4）上單調(diào)減函數(shù)，符合題意．
故答案為：1≤a＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的運(yùn)用能力，逆向思維解題方式．屬于基礎(chǔ)題．