Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，a₁=1且s_n=s_n-1+a_n-1+

1

2

，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=-30．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n-a_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，求{b_n}前n項(xiàng)和T_n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得{a_n}為首項(xiàng)為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，由此能求出a_n．
（2）由已知得b_n-

n+1

2

=（-30-1）•（

1

2

）^n-1，從而b_n=

n+1

2

-31•(

1

2

)n-1，由此能求出{b_n}前n項(xiàng)和T_n的最小值．

解答： 解：（1）∵a₁=1且S_n=S_n-1+a_n-1+

1

2

，
∴n≥2時(shí)，an=an-1+

1

2

，…（2分）
∴{a_n}為首項(xiàng)為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

．…（6分）
（2）∵數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=-30，數(shù)列{b_n-a_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n-

n+1

2

=（-30-1）•（

1

2

）^n-1，
∴b_n=

n+1

2

-31•(

1

2

)n-1，…（8分）
∵b_n隨n的增大而增大，…（10分），b₄＜0，b₅＞0，
∴{b_n}前n項(xiàng)和T_n的最小值（T_n）_min=T₄=-

409

8

．…（（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．