Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$（a，b∈R）的圖象過點P（1，f（1）），且在點P處的切線方程為y=3x-8．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$f′（x）=a-\frac{{x}^{2}}$，依題意列式計算得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=-x-\frac{4}{x}$，$f′（x）=-1+\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{4-{x}^{2}}{{x}^{2}}$
得函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）遞減，在（-2，0），（0，2）遞增，
f（x）_極小值=f（-2），f（x）_極大值=f（2）

解答 解：（Ⅰ）∵$f′（x）=a-\frac{{x}^{2}}$
函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$（a，b∈R）的圖象過點P（1，f（1）），且在點P處的切線方程為y=3x-8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3×1-8}\\{f（1）=a+b}\\{f′（1）=a-b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-4}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=-x-\frac{4}{x}$，$f′（x）=-1+\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{4-{x}^{2}}{{x}^{2}}$
當x∈（-∞，-2），（2，+∞）時，f′（x）＜0，當x∈（-2，0），（0，2）時，f′（x）＞0．
即函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）遞減，在（-2，0），（0，2）遞增，
∴f（x）_極小值=f（-2）=4；
f（x）_極大值=f（2）=-4．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題，