Question

15．在等差數列{a_n}中，已知a₂=4，a₄+a₇=15．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2${\;}^{{a}_{n}-2}$，求b₁+b₂+b₃+…+b_n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列面公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出a_n．
（2）求出${b_n}={2^n}$，由此利用等比數列前n項和公式能求出b₁+b₂+b₃+…+b_n的值．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵在等差數列{a_n}中，已知a₂=4，a₄+a₇=15．
∴由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{（{a}_{1}+3d）+（{a}_{1}+6d）=15}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n+2．…6分
（2）由（1）可得${b_n}={2^n}$，…8分
則b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2． …12分

點評 本題考查等差數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查等差數列通項公式、等比數列前n項和公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是基礎題．