【題目】在極坐標(biāo)系中,已知曲線C1:ρ=2cosθ和曲線C2:ρcosθ=3,以極點O為坐標(biāo)原點,極軸為x軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線C1和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點P是曲線C1上一動點,過點P作線段OP的垂線交曲線C2于點Q,求線段PQ長度的最小值.
【答案】解:( I)C1的直角坐標(biāo)方程為(x﹣1)2+y2=1,,
C2的直角坐標(biāo)方程為x=3;
( II)設(shè)曲線C1與x軸異于原點的交點為A,
∴PQ過點A(2,0),
設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為,
代入C1可得t2+2tcosθ=0,解得,
可知|AP|=|t2|=|2cosθ|
代入C2可得2+tcosθ=3,解得 ,
可知
所以PQ= ,當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號,
所以線段PQ長度的最小值為 .
【解析】(Ⅰ)根據(jù)極坐標(biāo)和普通坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.(Ⅱ)設(shè)出直線PQ的參數(shù)方程,利用參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足(,且),且,設(shè),,數(shù)列滿足.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和;
(3)對于任意,,恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為提高市民的戒煙意識,通過一個戒煙組織面向全市煙民征招志愿戒煙者,從符合條件的志愿者中隨機抽取100名,將年齡分成,,,,五組,得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求圖中的值,并估計這100名志愿者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)若年齡在的志愿者中有2名女性煙民,現(xiàn)從年齡在的志愿者中隨機抽取2人,求至少有一名女性煙民的概率;
(3)該戒煙組織向志愿者推薦了,兩種戒煙方案,這100名志愿者自愿選取戒煙方案,并將戒煙效果進(jìn)行統(tǒng)計如下:
有效 | 無效 | 合計 | |
方案 | 48 | 60 | |
方案 | 36 | ||
合計 |
完成上面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為戒煙方案是否有效與方案選取有關(guān).
參考公式:,.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】市某機構(gòu)為了調(diào)查該市市民對我國申辦2034年足球世界杯的態(tài)度,隨機選取了位市民進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下:
不支持 | 支持 | 合計 | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
合計 |
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)把表格數(shù)據(jù)填寫完整;
(2)利用(1)完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題:
(i)能否有的把握認(rèn)為支持申辦足球世界杯與性別有關(guān);
(ii)已知在被調(diào)查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中位是教師,現(xiàn)從這位退體老人中隨機抽取人,求至多有位老師的概率.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個桔柚(球形水果)種植基地,已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內(nèi)(單位:毫米,以下同),按規(guī)定直徑在內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個,測量這些桔柚的直徑,所得數(shù)據(jù)整理如下:
直徑分組 | |||||||
甲基地頻數(shù) | 10 | 30 | 120 | 175 | 125 | 35 | 5 |
乙基地頻數(shù) | 5 | 35 | 115 | 165 | 110 | 60 | 10 |
(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并回答是否有以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)?”
甲基地 | 乙基地 | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)品 | _________ | _________ | _________ |
非優(yōu)質(zhì)品 | _________ | _________ | _________ |
合計 | _________ | _________ | _________ |
(2)求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);
(3)記甲基地直徑在范圍內(nèi)的五個桔柚分別為、、、、,現(xiàn)從中任取二個,求含桔柚的概率.
附:,.
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點M(m,2),其焦點為F,且|MF|=2.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)E為y軸上異于原點的任意一點,過點E作不經(jīng)過原點的兩條直線分別與拋物線C和圓F:(x﹣1)2+y2=1相切,切點分別為A,B,求證:直線AB過定點F(1,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】東莞市公交公司為了方便廣大市民出行,科學(xué)規(guī)劃公交車輛的投放,計劃在某個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車的間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,選取一天中的六個不同的時段進(jìn)行抽樣調(diào)查,經(jīng)過統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù):
間隔時間(分鐘) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
等候人數(shù)(人) | 16 | 19 | 23 | 26 | 29 | 33 |
調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取其中的4組數(shù)據(jù)求得線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗,檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若兩組差值的絕對值均不超過1,則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式:,
(1)若選取的是前4組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)判斷(1)中的方程是否是“理想回歸方程”:
(3)為了使等候的乘客不超過38人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少分鐘?
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