Question

14．已知⊙C經過點A（1，0），B（3，-2），且圓心在直線x+y+1=0上．
（1）求⊙C的標準方程．
（2）直線l經過點（-3，-4），且與⊙C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設圓C的圓心坐標為（a，-a-1）．，再由圓C經過A（1，0），B（3，-2），可得|CA|²=|CB|²，即（a-1）²+（-a-1）²=（a-3）²+（-a-1+2）²求得a的值，即可求得圓心坐標和半徑，從而求得圓C的方程．
（2）用點斜式設出直線l的方程為y+4=k（x+3），根據圓心（1，-2）到直線l的距離等于半徑，即$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k的值，可得直線l的方程．

解答 解：（1）由于圓心在直線x+y+1=0上，故可設圓C的圓心坐標為C（a，-a-1）．
再由圓C經過點A（1，0），B（3，-2），
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-1）²+（-a-1）²=（a-3）²+（-a-1+2）²．
解得 a=1，故圓心C，1，-2），半徑r=2，故圓C的方程為 （x-1）²+（y+2）²=4．
（2）設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y+4=k（x+3），即 kx-y+3k-4=0．
由圓的切線性質可得圓心（1，-2）到直線l的距離等于半徑，即$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=0或$\frac{4}{3}$，
故直線l的方程為y=-4或4x-3y=0．

點評 本題主要考查求圓的標準方程的方法，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式，以及直線經過定點問題，屬于基礎題．