Question

已知函數(shù)f(x)= -ax(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=1，函數(shù)在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)，求整數(shù)m的最大值.

 

Answer 1

(1) 當時，在上為增函數(shù)；當時，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；(2) 的最大值為1．

【解析】

試題分析：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性首先注意明確函數(shù)的定義域，由于該函數(shù)是超越函數(shù)與一次函數(shù)的和構(gòu)成的，所以考慮用導數(shù)，先求出函數(shù)的導數(shù)得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知要確定導數(shù)的正負須按和分類討論,確定導數(shù)的符號而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 函數(shù)在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)在恒成立，分離參數(shù)m，從而將所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，構(gòu)造新函數(shù)，再用導數(shù)研究此函數(shù)的最小值即可；注意所求的m為整數(shù)這一特性．

試題解析：(1)定義域為，，

當時，，所以在上為增函數(shù)； 2分

當時，由得，且當時，，

當時，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)． 6分

(2)當時，，

若在區(qū)間上為增函數(shù)，

則在恒成立，

即在恒成立 8分

令，；

，；令，

可知，，

又當時，

所以函數(shù)在只有一個零點，設(shè)為，即，

且； 9分

由上可知當時，即；當時，即，

所以，，有最小值， 10分

把代入上式可得，又因為，所以，

又恒成立，所以，又因為為整數(shù)，

所以，所以整數(shù)的最大值為1． 12分

考點：１．利用函數(shù)的導數(shù)求單調(diào)區(qū)間；２．利用函數(shù)的導數(shù)求最值；３．不等式的恒成立．