已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
，（x∈R）．
（1）用定義證明：不論a為何實數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（2）問是否存在這樣的實數(shù)a使得f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．
分析：（1）任取x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=a-
1
2x1+1
-a+
1
2x2+1
=
2x1-2x2
(1+2x1)(1+2x2)
．根據(jù)已知只要判斷出函數(shù)值差的符號即可
（2）由奇函數(shù)的性質有 f（0）=0，代入可求a
解答：（1）證明：任取x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=a-
1
2x1+1
-a+
1
2x2+1
=
2x1-2x2
(1+2x1)(1+2x2)
．
∵x1＜x2，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0．
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以不論a為何實數(shù)f（x）總為增函數(shù)．
（2）解：存在，證明如下
∵若f（x）在x∈R上為奇函數(shù)，則有 f（0）=0，
即a-
1
20+1
=0．
解得 a=
1
2
．經(jīng)檢驗滿足題設
點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義在證明（判斷）函數(shù)單調(diào)性中的簡單應用，奇函數(shù)的性質f（0）=0（0在定義域內(nèi)），屬于基礎試題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結論．

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