Question

已知f（x）為偶函數(shù)，且x＞0時(shí)，．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，∞）上的單調(diào)性，并證明；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）時(shí)函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

（本小題滿分14分）
解：（1）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
證明如下：
任取0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=
==．
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[，2]上是增函數(shù)，值域?yàn)閇]，
∴f（）=，f（2）=2，
即，解得a=.
（3）設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=．
又因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）==.
分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明即可
（2）由（1）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間[，2]上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性及已知函數(shù)的 值域可求a
（3）可設(shè)x∈（-∞，0），則-x∈（0，+∞），結(jié)合已知x＞0時(shí)的函數(shù)解析式及函數(shù)為偶函數(shù)可求
點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的值域等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的基本知識(shí)