Question

7．設定義在區(qū)間[-k，k]上的函數(shù)f（x）=lg$\frac{1-mx}{1+x}$是奇函數(shù)，且f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，x₀是函數(shù)g（x）=lnx+2x+k-6的零點，則[x₀]=（　　）

• A． 1
• B． 1或2
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用定義在區(qū)間[-k，k]上的函數(shù)f（x）=lg$\frac{1-mx}{1+x}$是奇函數(shù)，求出m=1，0＜k＜1，利用函數(shù)g（x）=lnx+2x+k-6在（0，+∞）上單調遞增，g（2）=ln2+k-2＜0，g（3）=ln3+k＞0，即可得出結論．

解答 解：∵定義在區(qū)間[-k，k]上的函數(shù)f（x）=lg$\frac{1-mx}{1+x}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），∴1-m²x²=1-x²，∴m=±1，
m=-1時，f（x）=0，不滿足f（-$\frac{1}{2}$）≠f（$\frac{1}{2}$），∴m=1，
∴f（x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$，定義域為（-1，1），
∴[-k，k]⊆[-1，1]，∴0＜k＜1，
∵函數(shù)g（x）=lnx+2x+k-6在（0，+∞）上單調遞增，
g（2）=ln2+k-2＜0，g（3）=ln3+k＞0，
∴x₀∈（2，3），
∴[x₀]=2，
故選C．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性，考查函數(shù)的零點，考查學生的計算能力，屬于中檔題．