Question

我校有A、B、C、D四間自習室提供給周末沒回家的學生學習使用（座位足夠），設每位學生可以等可能地自主選擇且只選擇其中一間自習室．已知我們班本周末有4名同學沒回家且都決定去自習室學習．
（Ⅰ）求4名同學中恰有2人選擇在A室學習的概率；
（Ⅱ）設4名同學中選擇自習室的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，每位同學以

1

4

的概率選擇在A室學習，利用獨立重復試驗的概率公式可求4名同學中恰有2人選擇在A室學習的概率；
（Ⅱ）確定ξ的可能取值，求出相應的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答：解：（Ⅰ）依題意，每位同學以

1

4

的概率選擇在A室學習，則4名同學中恰有2人選擇在A室學習的概率為P1=

C

2 4

(

1

4

)2•(1-

1

4

)2=

27

128

…（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，4…（5分）
P(ξ=1)=

C 1 4

44

=

1

64

，P(ξ=4)=

A 4 4

44

=

6

64

，P(ξ=3)=

C 2 4 A 3 4

44

=

36

64

P(ξ=2)=1-(

1+6+36

64

)=

21

64

或P(ξ=2)=

C 1 4 A 2 4 + C 2 4 2！ A 2 4

44

=

21

64

…（9分）
∴ξ的分布列是：

ξ	1	2	3	4
P（ξ）	1 64	21 64	36 64	6 64

數(shù)學期望Eξ=1×

1

64

+2×

21

64

+3×

36

64

+4×

6

64

=

175

64

．…（12分）

點評：本題考查獨立重復試驗的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，確定變量的取值，求出相應的概率是關鍵．