Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)=

x

x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明方程f（x）=2^1-x在區(qū)間（1，2）上有解．

Answer 1

分析：（1）當x＜0時，則-x＞0，故 f(-x)=

-x

-x+1

=

x

x-1

，由 f（x）是偶函數(shù)，可得f(x)=f(-x)=

x

x-1

，
從而得到函數(shù)的解析式．
（2）令g(x)=f(x)-21-x=

x

x+1

-21-x，x∈（1，2），得到 g（1）•g（2）＜0，故方程f（x）=2^1-x在區(qū)間（1，2）上有解．

解答：解：（1）當x＜0時，則-x＞0，∴f(-x)=

-x

-x+1

=

x

x-1

，∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f(x)=f(-x)=

x

x-1

，∴f(x)=

x x+1 x x-1

(x≥0) (x＜0)

．
（2）令g(x)=f(x)-21-x=

x

x+1

-21-x，x∈（1，2）．
∵g(1)=

1

2

-1=-

1

2

＜0，g(2)=

2

3

-

1

2

=

1

6

＞0，∴g（1）•g（2）＜0，
∴方程f（x）=2^1-x在區(qū)間（1，2）上有解．

點評：本題考查偶函數(shù)的定義，求函數(shù)的解析式，函數(shù)的零點與方程的根，令g(x)=f(x)-21-x=

x

x+1

-21-x，x∈（1，2），得到 g（1）•g（2）＜0，是解題的關(guān)鍵．