Question

12．若當x=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）=sinx+acosx取到最大值，則f（-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡，當x=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）=sinx+acosx取到最大值，求出a，即可求f（-$\frac{π}{12}$）的值

解答 解：函數f（x）=sinx+acosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（x+θ），其中tanθ=a．
當x=$\frac{π}{6}$時，函數f（x取到最大值，
∴$\frac{π}{6}$+θ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：θ=2kπ$+\frac{π}{3}$．
即tan（2k$π+\frac{π}{3}$）=a．
∴a=$\sqrt{3}$．
那么f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
則f（-$\frac{π}{12}$）=2sin（$-\frac{π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角函數的化簡和性質的運用，考查轉化思想以及計算能力．