Question

已知函數(shù)f（x）=a•2^x-b•3^x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0．
（1）若ab＜0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若lna+lnb=2ln（2a-3b），求f（x+1）-f（x）＞0時x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由ab＜0，得a＞0，b＜0或a＜0，b＞0．
∵函數(shù)y=2^x和y=3^x是實數(shù)集上的增函數(shù)，
∴當(dāng)a＞0，b＜0時，函數(shù)y=a•2^x為增函數(shù)，y=-b•3^x也為增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=a•2^x-b•3^x是實數(shù)集上的增函數(shù)；
當(dāng)a＜0，b＞0時，函數(shù)y=a•2^x為減函數(shù)，y=-b•3^x也為減函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=a•2^x-b•3^x是實數(shù)集上的減函數(shù)；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b），得：a＞0，b＞0，2a＞3b．
且lnab=ln（2a-3b）²，∴ab=（2a-3b）²，即4a²-13ab+9b²=0．
∴（a-b）（4a-9b）=0，解得：a=b，或4a=9b．
∵a＞0，b＞0，2a＞3b，∴a=b不符合，則4a=9b，∴．
由f（x+1）-f（x）＞0，得：a•2^x+1-b•3^x+1-a•2^x+b•3^x=a•2^x-2b•3^x＞0．
把代入上式得：，
又b＞0，∴，即，解得：．
所以，f（x+1）-f（x）＞0時x的取值范圍是．
分析：（1）由ab＜0，說明a，b異號，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在底數(shù)大于1時為增函數(shù)可得y=a•2^x和y=-b•3^x的單調(diào)性，然后由在相同區(qū)間內(nèi)增函數(shù)的和為增函數(shù)，減函數(shù)的和為減函數(shù)可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）由lna+lnb=2ln（2a-3b）得到a和b的關(guān)系式，把f（x）和f（x+1）代入不等式f（x+1）-f（x）＞0，整理后由a和b的關(guān)系式消掉a，b，然后求解指數(shù)不等式即可得到f（x+1）-f（x）＞0時x的取值范圍．
點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性得判斷與證明，考查了對數(shù)式的性質(zhì)，考查了指數(shù)不等式得求解方法，解答此題的關(guān)鍵是由已知的等式找出a，b的關(guān)系式，是中檔題．