Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+c（a，b，c∈R）的圖象過點P（-1，2），且在點P處的切線與直線x-3y=0垂直．
（Ⅰ）若c=0，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）在（-∞，m），（n，+∞）上單調(diào)遞增，試求n-m的范圍．

Answer 1

（Ⅰ）因為f（x）的圖象過點P（-1，2），所以-a+b+c=2．
又f′（x）=3ax²+2bx，且在點P處的切線與直線x-3y=0垂直．
所以3a-2b=-3，且c=0，所以a=1，b=3．所以f（x）=3x²+6x．
令f′（x）=0?x₁=0，x₂=-2．顯然當(dāng)x＜-2或x＞0時，f′（x）＞0；
當(dāng)-2＜x＜0時，f′（x）＜0．則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（0，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-2，0）．（6分）
（Ⅱ）令f′（x）=3ax²+2bx=0，得x1=0，x2=-

2b

3a

．
因為a＞0，b＞0，所以當(dāng)x＞0或x＜-

2b

3a

時，f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，-

2b

3a

)，(0，+∞)．
所以n-m≥0-(-

2b

3a

)=

2b

3a

.
又由（Ⅰ）知：3a-2b=-3，
所以n-m≥

2b

3a

=

3a+3

3a

=1+

1

a

＞1.
所以n-m＞1．（14分）